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高数,某一点可导与导函数在该点的连续性的关系

可导必连续 连续不一定可导

连续不一定可导,可导一定连续

楼上的反例已经给得很清楚了,还要补充一点:f(x)在某点可导,则其导函数在该点不可能为第一类间断点或者是无穷间断点(有可能为震荡型的第二类间断点),具体的证法我也不太清楚,当作结论记下来就行了.

"函数在某点可导"等价于“函数在某点存在导数”等价于“函数在某点的左、右导数存在且相等”.应该存在区别.我认为“函数在某点可导” 是指原函数的可导性.而"导函数在某点连续"是指导函数(本身)的连续性.

若导函数在某点连续,则原函数在该点当然可导;若原函数在某点可导,则导函数在该点未必连续,甚至导函数都不一定存在.比如说x^2D(x)在0点可导,但不存在导函数,更谈不上导函数的连续性了,因为该函数在非0点都不连续,当然也不可导.其中D(x)表示狄立克莱函数.这些都是概念性的东西,没什么好论证的,仔细看看导函数以及导数的定义就好了.首先函数要在一个区间内的每一点都可导,才有导函数一说,在此基础上才谈得上导函数的连续性、极限值等其它种种.当然两者之间也是有紧密联系的,那就是当导函数存在的时候,导函数在某点的函数值就等于函数在该点的导数值.但一定要注意,这并不意味着导函数在该点连续.

可微=>可导=>连续=>可积,在一元函数中,可导与可微等价.函数在x0点连续的充要条件为f(x0)=lim(x→x0)f(x),即函数在此点函数值存在,并且等于此点的极限值若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导.

可导(微分)则一定连续,连续不一定可导.

未必.例如函数 f(x) = xD(x),它仅在 x=0 可导,其余点均不连续,谈何导函数连续? 注:这里,D(x) 是Dirihlet 函数,就是在有理点函数值是 1,在无理点函数值是 0 的函数.

函数在某一点可导的充分必要条件有满足导数定义 、可微 、左右导数存在且相等.函数在某一点导函数连续的充分必要条件就是导函数作为函数时连续的充分必要条件.【扩展资料】 在数学上,函数的定义为:给定一个非空的数集A,对A施加对

可导一定连续,但是连续不一定可导. (一)函数在此点必须连续即左右极限值存在且相等;(二)函数在此点的左右导数值必须存在且相等;两条件缺一不可.由此不难理解为何f(x)在点x0处连续,但不一定在该点可导.

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